integral0^3 integral0^2 integral0^x+z 6 x z d y d x d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado é:
integral0^3 integral0^2 integral0^x+z 6 x z , dy , dx , dz
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, mais especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integral mais interna, que é em relação a . A função que vamos integrar é . Como não depende de , a integração em relação a é bem direta.

Passo 3

Integrando integral0^x+z 6xz , dy = 6xz cdot y |0^x+z = 6xz (x + z) - 6xz (0) = 6xz (x + z) em relação a de a :

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral original, reduzindo-a para uma dupla integral:
integral0^3 integral0^2 6xz (x + z) , dx , dz
Vamos expandir o termo 6xz (x + z) = 6x^2 z + 6x z^2 :
integral0^3 integral0^2 (6x^2 z + 6x z^2) , dx , dz
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2 6x^2 z , dx = 6z cdot x^33 |0^2 = 6z cdot ( 83 - 0 ) = 16z , de integral0^2 6x z^2 , dx = 6z^2 cdot x^22 |0^2 = 6z^2 cdot ( 2 - 0 ) = 12z^2 a :
Primeiro, integramos em relação a :
Em seguida, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, somamos essas duas integrais:
16z + 12z^2
Então, nossa integral reduzida agora é:
integral0^3 (16z + 12z^2) , dz

Passo 7

Vamos integrar essa expressão em relação a integral0^3 16z , dz = 16 cdot z^22 |0^3 = 8z^2 |0^3 = 8(9) - 0 = 72 :
Primeiro, integramos integral0^3 12z^2 , dz = 12 cdot z^33 |0^3 = 4z^3 |0^3 = 4(27) - 0 = 108 :
Em seguida, integramos :

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
72 + 108 = 180

Resposta

O valor da integral tripla é 180.

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