Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto dado.
, em

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função e a gente precisa encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos confirmar que o ponto está realmente na função. Isso significa que, substituindo na função, o valor de deve ser .
Vamos verificar:
Como , o ponto está correto.

Passo 3

Agora, para achar a equação da reta tangente, precisamos da derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
Vamos derivar:
Então, a derivada é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Sabemos que e , então:
Portanto:
A inclinação da reta tangente é 3.

Passo 5

Agora que temos o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma explícita :

Resposta

A equação da reta tangente à função no ponto é:

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