Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto
dado.
, em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função
e a gente precisa encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto
. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos confirmar que o ponto
está realmente na função. Isso significa que, substituindo
na função, o valor de
deve ser
.
Vamos verificar:
Como
, o ponto está correto.
Passo 3
Agora, para achar a equação da reta tangente, precisamos da derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Vamos derivar:
Então, a derivada é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
na derivada:
Sabemos que
e
, então:
Portanto:
A inclinação da reta tangente é 3.
Passo 5
Agora que temos o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação para a forma explícita
:
Resposta
A equação da reta tangente à função no ponto
é:
Exercícios relacionados
Para quaus valores de
existe reta tangente horizontal ao gráfico de
? Caso não exista, justifique.
Para que valor de
a função
é contínua em
? Podemos afirmar que, além de contínua,
é diferenciável nesse ponto? Justifique sua resposta.
Determine a derivada de ordem 36 da função
observando o padrão obtido nas primeiras derivadas.
Calcule as derivadas das seguintes funções.