Determine a derivada de ordem
.
Passo 1
Beleza, você quer descobrir qual é a derivada de ordem
da função
. Isso envolve entender como derivar funções trigonométricas várias vezes e identificar um padrão nas derivadas. Vamos precisar saber como derivar cosseno e seno e observar como eles se repetem ao derivarmos várias vezes.
Passo 2
Vamos começar derivando a função
uma vez para ver o que acontece.
Passo 3
A primeira derivada de
é:
Aqui, usamos a regra básica da derivada de
, que é
.
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:
Derivando
, obtemos
.
Passo 5
Vamos derivar mais uma vez para a terceira derivada:
Derivando
, chegamos a
.
Passo 6
Derivando pela quarta vez, temos:
Derivando
, voltamos para
, que é a função original.
Passo 7
Observamos que as derivadas estão se repetindo a cada quatro passos:
Isso significa que, para qualquer
, a derivada de ordem
seguirá esse ciclo.
Resposta
A derivada de ordem
da função
é:
Isso representa como a função original se transforma após derivarmos
vezes, seguindo o ciclo das derivadas trigonométricas.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Esboce os gráficos de
e
.
Determine a derivada de ordem
.
Determine
e
.