Determine a derivada de ordem .

Passo 1

Beleza, você quer descobrir qual é a derivada de ordem da função . Isso envolve entender como derivar funções trigonométricas várias vezes e identificar um padrão nas derivadas. Vamos precisar saber como derivar cosseno e seno e observar como eles se repetem ao derivarmos várias vezes.

Passo 2

Vamos começar derivando a função uma vez para ver o que acontece.

Passo 3

A primeira derivada de é:
Aqui, usamos a regra básica da derivada de , que é .

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente para encontrar a segunda derivada:
Derivando , obtemos .

Passo 5

Vamos derivar mais uma vez para a terceira derivada:
Derivando , chegamos a .

Passo 6

Derivando pela quarta vez, temos:
Derivando , voltamos para , que é a função original.

Passo 7

Observamos que as derivadas estão se repetindo a cada quatro passos:
Isso significa que, para qualquer , a derivada de ordem seguirá esse ciclo.

Resposta

A derivada de ordem da função é:
Isso representa como a função original se transforma após derivarmos vezes, seguindo o ciclo das derivadas trigonométricas.

Exercícios relacionados

Determine e .
Esboce os gráficos de e .
Determine a derivada de ordem .
Determine e .