Determine a derivada de ordem .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de ordem da função . Isso envolve conceitos de derivadas e de como elas se comportam quando aplicadas várias vezes a uma função trigonométrica.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar como as derivadas das funções trigonométricas funcionam. Vamos começar calculando as primeiras derivadas de :
  1. Primeira derivada: Aqui, usamos a regra básica de derivação das funções trigonométricas, onde a derivada de é .

Passo 3

  1. Segunda derivada:A derivada de é .

Passo 4

  1. Terceira derivada:A derivada de é .

Passo 5

  1. Quarta derivada:A derivada de é .

Passo 6

Observamos que a cada quatro derivadas, a função volta ao ponto de partida. Isso significa que as derivadas de seguem um ciclo de 4 termos:

Passo 7

Para encontrar a derivada de ordem , podemos usar essa periodicidade. O que precisamos é determinar onde estamos no ciclo após aplicar a derivada vezes. Isso pode ser feito usando o resto da divisão de por 4, ou seja, .
Dependendo do valor de , a -ésima derivada será:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 8

Outra forma de representar isso de maneira geral é usando a função seno com um deslocamento de fase. A -ésima derivada de pode ser expressa como:
Isso funciona porque cada derivada incrementa o argumento da função seno em , refletindo a mudança no ciclo das derivadas.

Resposta

A derivada de ordem da função é:

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Determine a derivada de ordem .
Determine e .
Determine e .
Determine e .