Determine a derivada de ordem
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada de ordem
da função . Isso envolve conceitos de derivadas e de como elas se comportam quando aplicadas várias vezes a uma função trigonométrica.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar como as derivadas das funções trigonométricas funcionam. Vamos começar calculando as primeiras derivadas de :
- Primeira derivada:
Aqui, usamos a regra básica de derivação das funções trigonométricas, onde a derivada de é .
Passo 3
- Segunda derivada:A derivada de
é .
Passo 4
- Terceira derivada:A derivada de é
.
Passo 5
- Quarta derivada:A derivada de
é .
Passo 6
Observamos que a cada quatro derivadas, a função volta ao ponto de partida. Isso significa que as derivadas de seguem um ciclo de 4 termos:
Passo 7
Para encontrar a derivada de ordem
, podemos usar essa periodicidade. O que precisamos é determinar onde estamos no ciclo após aplicar a derivada
vezes. Isso pode ser feito usando o resto da divisão de
por 4, ou seja,
.
Dependendo do valor de
, a
-ésima derivada será:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
Passo 8
Outra forma de representar isso de maneira geral é usando a função seno com um deslocamento de fase. A
-ésima derivada de pode ser expressa como:
Isso funciona porque cada derivada incrementa o argumento da função seno em
, refletindo a mudança no ciclo das derivadas.
Resposta
A derivada de ordem
da função é:
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Determine a derivada de ordem
.
Determine
e
.
Determine
e
.
Determine
e
.