Determine f' f' e f''. f(x) = { x^2 + 3x se x <= 1; 5x - 1 se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as primeiras, segundas e terceiras derivadas da função , que é definida de forma diferente dependendo do valor de . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções por partes e verificar a continuidade das derivadas nos pontos de transição. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
Essa é uma função por partes, ou seja, ela é definida por expressões diferentes em intervalos distintos de . Nosso objetivo é encontrar as derivadas primeira ( ), segunda ( ) e terceira ( ) dessa função.

Passo 3

Vamos começar encontrando a primeira derivada .
Para :
A derivada de é e a derivada de é . Então:
Para :
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade da primeira derivada em .
Calculando pelo primeiro caso ( ):
Pelo segundo caso ( ):
Como os valores das derivadas laterais são iguais, a primeira derivada é contínua em .

Passo 5

Vamos encontrar a segunda derivada .
Derivando :
Para :
A derivada de é e a derivada de é . Então:
Para :
A derivada de é . Então:

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade da segunda derivada em .
Calculando pelo primeiro caso ( ):
Pelo segundo caso ( ):
Aqui, as derivadas laterais são diferentes, o que significa que a segunda derivada apresenta uma descontinuidade em .

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a terceira derivada .
Derivando :
Para :
A derivada de é . Então:
Para :
A derivada de é . Então:

Resposta

As derivadas da função são:

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