Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as primeiras, segundas e terceiras derivadas da função
, que é definida de forma diferente dependendo do valor de
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas de funções por partes e verificar a continuidade das derivadas nos pontos de transição. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função dada:
Essa é uma função por partes, ou seja, ela é definida por expressões diferentes em intervalos distintos de
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas primeira (
), segunda (
) e terceira (
) dessa função.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada
.
Para
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Para
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade da primeira derivada em
.
Calculando
pelo primeiro caso (
):
Pelo segundo caso (
):
Como os valores das derivadas laterais são iguais, a primeira derivada é contínua em
.
Passo 5
Vamos encontrar a segunda derivada
.
Derivando
:
Para
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Para
:
A derivada de
é
. Então:
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade da segunda derivada em
.
Calculando
pelo primeiro caso (
):
Pelo segundo caso (
):
Aqui, as derivadas laterais são diferentes, o que significa que a segunda derivada apresenta uma descontinuidade em
.
Passo 7
Por fim, vamos encontrar a terceira derivada
.
Derivando
:
Para
:
A derivada de
é
. Então:
Para
:
A derivada de
é
. Então:
Resposta
As derivadas da função
são: