Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos verificar se essa função é derivável em
. Para isso, precisamos lembrar que uma função é derivável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas laterais à esquerda e à direita desse ponto existirem e forem iguais. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivadas laterais para resolver o exercício.
Passo 2
Antes de verificar a derivabilidade, é importante garantir que a função seja contínua em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita for igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular:
- Valor da função em
:
- Limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
- Limite quando
se aproxima de 2 pela direita ( ):
Como todos os limites e o valor da função em
são iguais a -6, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora que sabemos que a função é contínua em
, vamos verificar se ela é derivável nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais à esquerda e à direita de
e ver se elas são iguais.
A derivada da função à esquerda (
) é a derivada de
:
A derivada da função à direita (
) é a derivada de
:
Passo 4
Comparando as derivadas laterais:
- Derivada à esquerda:
- Derivada à direita:
Como
, as derivadas laterais não são iguais.
Resposta
A função
não é derivável em
porque as derivadas laterais à esquerda e à direita são diferentes.
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Determine as derivadas das funções a seguir:
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