Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos verificar se essa função é derivável em . Para isso, precisamos lembrar que uma função é derivável em um ponto se ela for contínua nesse ponto e se as derivadas laterais à esquerda e à direita desse ponto existirem e forem iguais. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivadas laterais para resolver o exercício.

Passo 2

Antes de verificar a derivabilidade, é importante garantir que a função seja contínua em . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita for igual ao valor da função nesse ponto.
Vamos calcular:
  1. Valor da função em :
  1. Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
  1. Limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
Como todos os limites e o valor da função em são iguais a -6, a função é contínua em .

Passo 3

Agora que sabemos que a função é contínua em , vamos verificar se ela é derivável nesse ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas laterais à esquerda e à direita de e ver se elas são iguais.
A derivada da função à esquerda ( ) é a derivada de :
A derivada da função à direita ( ) é a derivada de :

Passo 4

Comparando as derivadas laterais:
  • Derivada à esquerda:
  • Derivada à direita:
Como , as derivadas laterais não são iguais.

Resposta

A função não é derivável em porque as derivadas laterais à esquerda e à direita são diferentes.

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Determine as derivadas das funções a seguir:
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