Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . Para isso, vamos tratar como uma função de e .
Passo 3
Vamos calcular . Usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular também usando a regra da cadeia:
Passo 5
Com as derivadas de primeira ordem em mãos, vamos agora encontrar as derivadas de segunda ordem. Primeiramente, , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do quociente ou a regra da cadeia novamente, obtemos:
Passo 6
Em seguida, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Por último, vamos encontrar a derivada mista . Vamos derivar em relação a :
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são: