Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . Para isso, vamos tratar como uma função de e .

Passo 3

Vamos calcular . Usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular também usando a regra da cadeia:

Passo 5

Com as derivadas de primeira ordem em mãos, vamos agora encontrar as derivadas de segunda ordem. Primeiramente, , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do quociente ou a regra da cadeia novamente, obtemos:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 7

Por último, vamos encontrar a derivada mista . Vamos derivar em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Seja a região semicircular localizada no o segundo e no terceiro quadrantes, que é centrada na origem e que possui raio 4. Neste caso, se é uma lâmina que ocupa a região e se é a função que descreve a densidade de massa (em quilogramas por metros quadrados) em L, então
b) determine o centro de massa de .
Determine a derivada parcial indicada.
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.