Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
d w = raiz(u^2 - v^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . Para isso, vamos tratar como uma função de e .

Passo 3

Vamos calcular . Usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular também usando a regra da cadeia:

Passo 5

Com as derivadas de primeira ordem em mãos, vamos agora encontrar as derivadas de segunda ordem. Primeiramente, , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do quociente ou a regra da cadeia novamente, obtemos:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 7

Por último, vamos encontrar a derivada mista . Vamos derivar em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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