Determine a derivada parcial indicada
g(r, s, t)=e^r sin (s t), gr s t r=partialpartial r(partialpartial t(partialpartial s(partial fpartial r)))= ?

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar uma derivada parcial mista da função . Vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e trigonométricas, aplicando derivadas parciais sucessivas conforme indicado.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar partial gpartial r = e^r sin(st) em relação a .

Passo 3

Agora, derivamos o resultado anterior em relação a partialpartial s( partial gpartial r ) = e^r cdot partialpartial s sin(st) = e^r cdot t cos(st) .

Passo 4

Em seguida, derivamos o resultado em relação a partialpartial t( e^r t cos(st) ) = e^r ( cos(st) + t cdot (-s sin(st)) ) = e^r ( cos(st) - s t sin(st) ) :

Passo 5

Finalmente, derivamos o resultado em relação a partialpartial r( e^r ( cos(st) - s t sin(st) ) ) = e^r ( cos(st) - s t sin(st) ) :

Resposta

gr s t r = e^r ( cos(st) - s t sin(st) )

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