Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
(a)
, onde
, e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para justificar que duas integrais de linha de um campo vetorial contínuo
são iguais. A gente está trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver, precisamos entender como as curvas
e
estão definidas e ver se elas traçam o mesmo caminho no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as curvas dadas:
-
para -
para
Queremos ver se essas duas curvas representam o mesmo caminho no plano.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para ver como
se relaciona com
. Observe que se a gente escolher
, então quando
varia de 0 a 1,
varia de 0 a 2, o que corresponde aos intervalos das duas curvas.
Passo 4
Substituindo
em
:
Então,
quando
.
Passo 5
Isso mostra que as duas parametrizações
e
descrevem o mesmo caminho no plano, apenas com uma escala diferente no parâmetro.
Passo 6
Como ambos os caminhos são os mesmos, e
é contínuo, as integrais de linha sobre essas curvas serão iguais, já que estamos apenas reparametrizando o mesmo caminho.
Resposta
As integrais
e
são iguais porque as curvas
e
representam o mesmo caminho no plano, apenas com parametrizações diferentes.
Exercícios relacionados
Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem:
Determine a derivada parcial indicada
?
Determine
e o conjunto no qual
é contínua