Seja F um campo vetorial contínuo em R^2. Justifique as igualdades.
(a) integralgamma1 F cdot d gamma1=integralgamma2 F cdot d gamma2, onde gamma1(t)=(t, t^2), 0 <= t <= 1, e gamma2(u)=(u2, u^24), 0 <= u <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para justificar que duas integrais de linha de um campo vetorial contínuo F são iguais. A gente está trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver, precisamos entender como as curvas gamma1(t) e gamma2(u) estão definidas e ver se elas traçam o mesmo caminho no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as curvas dadas:
  • gamma1(t) = (t, t^2) para 0 <= t <= 1
  • gamma2(u) = (u2, u^24) para 0 <= u <= 2
Queremos ver se essas duas curvas representam o mesmo caminho no plano.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para ver como gamma2(u) se relaciona com gamma1(t). Observe que se a gente escolher u = 2t, então quando t varia de 0 a 1, u varia de 0 a 2, o que corresponde aos intervalos das duas curvas.

Passo 4

Substituindo u = 2t em gamma2(u):
gamma2(u) = (u2, u^24) = (2t2, (2t)^24) = (t, t^2)
Então, gamma2(u) = gamma1(t) quando u = 2t.

Passo 5

Isso mostra que as duas parametrizações gamma1(t) e gamma2(u) descrevem o mesmo caminho no plano, apenas com uma escala diferente no parâmetro.

Passo 6

Como ambos os caminhos são os mesmos, e F é contínuo, as integrais de linha sobre essas curvas serão iguais, já que estamos apenas reparametrizando o mesmo caminho.

Resposta

As integrais integralgamma1 F cdot d gamma1 e integralgamma2 F cdot d gamma2 são iguais porque as curvas gamma1 e gamma2 representam o mesmo caminho no plano, apenas com parametrizações diferentes.

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