Seja um campo vetorial contínuo em . Justifique as igualdades.
(a) , onde , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para justificar que duas integrais de linha de um campo vetorial contínuo são iguais. A gente está trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver, precisamos entender como as curvas e estão definidas e ver se elas traçam o mesmo caminho no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as curvas dadas:
  • para
  • para
Queremos ver se essas duas curvas representam o mesmo caminho no plano.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para ver como se relaciona com . Observe que se a gente escolher , então quando varia de 0 a 1, varia de 0 a 2, o que corresponde aos intervalos das duas curvas.

Passo 4

Substituindo em :
Então, quando .

Passo 5

Isso mostra que as duas parametrizações e descrevem o mesmo caminho no plano, apenas com uma escala diferente no parâmetro.

Passo 6

Como ambos os caminhos são os mesmos, e é contínuo, as integrais de linha sobre essas curvas serão iguais, já que estamos apenas reparametrizando o mesmo caminho.

Resposta

As integrais e são iguais porque as curvas e representam o mesmo caminho no plano, apenas com parametrizações diferentes.

Exercícios relacionados

Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem:
Determine os valores máximos e mínimos da função restrita ao círculo .
Determine a derivada parcial indicada
?
Determine e o conjunto no qual é contínua