Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O enunciado pede pra verificar se a equação dada é exata e, se for, resolver ela. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente sobre equações exatas. Vamos precisar identificar as partes da equação, verificar se ela é exata e, se sim, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial geral da forma:
No nosso caso:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Percebemos que:
Isso significa que a equação diferencial é exata!
Passo 5
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, então:
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
Portanto, a função potencial fica:
E a solução geral da equação diferencial é quando
é constante:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine as três dimensões
, de bagagem em formato de paralelepípedo despachada em voo de certa companhia, de modo a ter a capacidade, em
máxima, sabendo que a restrição é de que a soma das dimensões seja 320 cm , isto é,
.
Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
(a) , onde
, e
.
(a)
Determine a derivada parcial indicada
?