Verifique se equações diferenciais seguintes são exatas, e resolve as que o forem: y e^(x y) dx + x e^(x y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O enunciado pede pra verificar se a equação dada é exata e, se for, resolver ela. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente sobre equações exatas. Vamos precisar identificar as partes da equação, verificar se ela é exata e, se sim, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação diferencial geral da forma:
No nosso caso:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se elas forem iguais, a equação é exata.
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Percebemos que:
Isso significa que a equação diferencial é exata!

Passo 5

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Fazendo a substituição , temos , então:

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 7

Portanto, a função potencial fica:
E a solução geral da equação diferencial é quando é constante:

Resposta

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