Determine a derivada parcial indicada
?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a derivada parcial mista da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, especificamente derivadas misturadas. Para isso, vamos primeiro encontrar a derivada de em relação a e depois derivar esse resultado em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é . Para derivar essa fração, podemos usar a regra do quociente:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial dessa expressão em relação a , ou seja, . Temos:
Para derivar em relação a , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Podemos fatorar :
Mas simplificando melhor, a expressão final é:

Resposta

Portanto, a derivada parcial mista é:

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?
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