Determine a derivada parcial indicada
w(u, v)=u vu-v, wu v=partialpartial v(partial wpartial u)= ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a derivada parcial mista da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, especificamente derivadas misturadas. Para isso, vamos primeiro encontrar a derivada de em relação a e depois derivar esse resultado em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial wpartial u = (v)(u - v) - (u v)(1)(u - v)^2 em relação a , ou seja, . A função é . Para derivar essa fração, podemos usar a regra do quociente:

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
v(u - v) - u v = u v - v^2 - u v = -v^2
Então, a derivada parcial em relação a partial wpartial u = -v^2(u - v)^2 fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial dessa expressão em relação a partial wpartial u = -v^2 (u - v)^-2 , ou seja, wuv = partialpartial v ( -v^2 (u - v)^-2 ) . Temos:
Para derivar em relação a , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
wuv = -2v (u - v)^-2 + v^2 cdot 2 (u - v)^-3
Simplificando:
wuv = -2v(u - v)^2 + 2v^2(u - v)^3

Passo 6

Podemos fatorar wuv = 2v(u - v)^3 ( - (u - v) + v ) = 2v (-u + v + v)(u - v)^3 = -2v u + 2v^2 + 2v^2(u - v)^3 :
wuv = -2v(u - v) + 2v^2(u - v)^3 = -2v u + 2v^2 + 2v^2(u - v)^3 = -2v u + 4v^2(u - v)^3
Mas simplificando melhor, a expressão final é:

Resposta

Portanto, a derivada parcial mista wuv = -2v u + 4v^2(u - v)^3 é:

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