Determine a derivada parcial indicada
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a derivada parcial mista
da função
. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas parciais, especificamente derivadas misturadas. Para isso, vamos primeiro encontrar a derivada de
em relação a
e depois derivar esse resultado em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função é
. Para derivar essa fração, podemos usar a regra do quociente:
Passo 3
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial dessa expressão em relação a
, ou seja,
. Temos:
Para derivar em relação a
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Podemos fatorar
:
Mas simplificando melhor, a expressão final é:
Resposta
Portanto, a derivada parcial mista
é: