Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Determine o valor da constante e de forma que a função
seja contínua em R.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores das constantes e de forma que a função seja contínua em todos os números reais. Primeiro, precisamos entender que para que a função seja contínua, não pode ter “quebras” ou “saltos” nos pontos onde a definição dela muda. No nosso caso, isso acontece em e . Vamos precisar usar o conceito de continuidade e limites para garantir que a função se conecta direitinho nesses pontos.
Passo 2
Vamos começar examinando a continuidade em limx to -2^- f(x) = limx to -2^- (x + 2c) = -2 + 2c . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando limx to -2^+ f(x) = limx to -2^+ (3c x + k) = 3c(-2) + k = -6c + k se aproxima de -2 + 2c = -6c + k (1) pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda:
Agora, o limite pela direita:
Como a função deve ser contínua, esses limites devem ser iguais:
Passo 3
Agora vamos garantir a continuidade em limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (3c x + k) = 3c(1) + k = 3c + k . De novo, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (3x - 2k) = 3(1) - 2k = 3 - 2k .
Calculando o limite pela esquerda:
3c + k = 3 - 2k (2)
E o limite pela direita:
Igualando os limites para garantir a continuidade:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-2 + 2c = -6c + k (1) 3c + k = 3 - 2k (2)
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), isolamos k = -2 + 2c + 6c = -2 + 8c :