2^a Questão ( ) (Valor 6.0 Pontos): Determine o valor da constante c e k de forma que a função
f(x)=cll x+2 c, & se & x<-2 3 c x+k, & se & -2 <= x <= 1 3 x-2 k, & se & x>1
seja contínua em R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os valores das constantes e de forma que a função seja contínua em todos os números reais. Primeiro, precisamos entender que para que a função seja contínua, não pode ter “quebras” ou “saltos” nos pontos onde a definição dela muda. No nosso caso, isso acontece em e . Vamos precisar usar o conceito de continuidade e limites para garantir que a função se conecta direitinho nesses pontos.

Passo 2

Vamos começar examinando a continuidade em limx to -2^- f(x) = limx to -2^- (x + 2c) = -2 + 2c . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando limx to -2^+ f(x) = limx to -2^+ (3c x + k) = 3c(-2) + k = -6c + k se aproxima de -2 + 2c = -6c + k (1) pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Primeiro, calculamos o limite pela esquerda:
Agora, o limite pela direita:
Como a função deve ser contínua, esses limites devem ser iguais:

Passo 3

Agora vamos garantir a continuidade em limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (3c x + k) = 3c(1) + k = 3c + k . De novo, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais ao valor da função em limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (3x - 2k) = 3(1) - 2k = 3 - 2k .
Calculando o limite pela esquerda:
3c + k = 3 - 2k (2)
E o limite pela direita:
Igualando os limites para garantir a continuidade:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-2 + 2c = -6c + k (1) 3c + k = 3 - 2k (2)
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1), isolamos k = -2 + 2c + 6c = -2 + 8c :
3c + (-2 + 8c) = 3 - 2(-2 + 8c)
Substituímos 3c - 2 + 8c = 3 + 4 - 16c na equação (2):
11c - 2 = 7 - 16c
11c + 16c = 7 + 2
27c = 9
c = 927 = 13
k = -2 + 8 ( 13 ) = -2 + 83 = -6 + 83 = 23
Agora, substituímos na expressão de :

Resposta

A constante vale e a constante vale .

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