Determine a derivada das seguintes funções:
f(x) = (x^2 - 1)(x^4 + x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas de funções polinomiais e vamos usar a regra do produto para resolver. Vamos precisar lembrar como aplicar essa regra para multiplicar duas funções e depois derivar cada parte.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. Basicamente, a derivada de uma função nos diz a taxa de variação dessa função em relação a . É como descobrir quão inclinada está a curva naquele ponto específico.

Passo 3

Como temos a função , que é o produto de duas funções, vamos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que se você tem duas funções, digamos e , então a derivada de é:

Passo 4

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e , ou seja, e .

Passo 5

Vamos derivar :
Aqui, usamos a regra básica de derivação para potências, onde , e sabemos que a derivada de uma constante é zero.

Passo 6

Agora, vamos derivar :
Usamos a mesma regra de derivação para potências aqui.

Passo 7

Com e encontrados, vamos aplicar a regra do produto:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para encontrar a derivada final.

Passo 8

Vamos multiplicar os termos:
Primeiro, :
Então,
Segundo, :
Então,

Passo 9

Agora, somamos as duas partes:
Vamos combinar os termos semelhantes:
Então,

Resposta

A derivada da função é:

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