Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (a, f(a)) sabendo que:
f(x) = x + raiz(x), (a, f(a)) = (1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos precisar usar derivadas, que são uma ferramenta do cálculo para encontrar a inclinação de uma reta tangente em um ponto específico de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente no gráfico da função. Substituindo na função:
Então, o ponto está correto.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A função é:
Vamos derivar termo a termo. A derivada de é 1, e a derivada de é . Portanto:

Passo 4

Em seguida, avaliamos a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos a inclinação da reta tangente e o ponto por onde ela passa , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde , e . Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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f(x) = raiz5(x^2)
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