lim t 0(e^-3 t i+t^2sin ^2 t j+cos 3 t k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função vetorial que é composta por três partes: i, j e k. A gente vai precisar usar conhecimentos de limites para funções exponenciais, trigonométricas e racionais. Nosso objetivo é encontrar o limite quando t se aproxima de 0 para cada uma dessas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte com i: e^-3t. Sabemos que a função exponencial e^x, quando x se aproxima de 0, tende a 1. Então, substituindo x por -3t, quando t vai para 0, -3t também vai para 0. Portanto:
limt 0 e^-3t = e^0 = 1

Passo 3

Agora, vamos para a parte com j: t^2sin^2 t. Para resolver isso, precisamos lembrar que, quando t é próximo de 0, sin t é aproximadamente igual a t. Então, sin t approx t. Elevando ao quadrado, temos sin^2 t approx t^2. Assim:
t^2sin^2 t approx t^2t^2 = 1
Então, o limite dessa parte também é 1.

Passo 4

Por fim, vamos para a parte com k: cos 3t. Sabemos que a função cosseno, quando o ângulo se aproxima de 0, tende a 1. Portanto:
limt 0 cos 3t = cos 0 = 1

Resposta

O limite da função vetorial quando t se aproxima de 0 é:
i + j + k

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