Determine a derivada das seguintes funções vetoriais:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a derivada da função vetorial
. A matéria envolvida aqui são derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar cada componente da função vetorial individualmente.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes. Isso significa que vamos derivar cada parte de
separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
.
Aqui,
, então
. Portanto, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. Essa é uma constante, e a derivada de uma constante é sempre zero. Então:
Passo 5
Por fim, temos a terceira componente:
. Para derivar isso, usamos a derivada do logaritmo natural combinada com a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
.
Aqui,
, então
. Portanto, a derivada de
é:
Resposta
A derivada da função vetorial
é:
Exercícios relacionados
Encontre a área limitada pelo gráfico da função
, e as retas:
,
e
. Esboce o gráfico da função e destaque a área calculada.
Resolva as integrais:
Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir: