Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas:
Passo 1
Beleza, temos uma equação diferencial do tipo Cauchy-Euler homogênea:
. Esse tipo de equação é especial porque a gente pode resolver assumindo que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos descobrir. Então, vamos precisar usar essa ideia para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
é da forma
. Com isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de
, ou seja,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, vamos substituir
,
e
na equação original.
Passo 4
Substituindo na equação:
Simplificando cada termo:
Fatorando
:
Isso nos dá a equação característica:
Passo 5
Vamos resolver a equação característica
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, as raízes são complexas:
e
.
Resposta
A solução geral da equação é:
ou simplificando:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine a derivada das seguintes funções vetoriais:
;
Encontre a área limitada pelo gráfico da função
, e as retas:
,
e
. Esboce o gráfico da função e destaque a área calculada.
Utilizando a forma que preferir, calcule a curvatura das curvas a seguir:
Use as soluções explícitas
e
da equação de Legendre e escolhas apropriadas dos coeficientes
e
para obter os polinômios de Legendre
e
.