Obtenha a solução geral das Equações de Cauchy-Euler homogêneas: x^2 y'' - x y' + 2 y = 0

Passo 1

Beleza, temos uma equação diferencial do tipo Cauchy-Euler homogênea: . Esse tipo de equação é especial porque a gente pode resolver assumindo que a solução tem a forma , onde é um número que vamos descobrir. Então, vamos precisar usar essa ideia para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução é da forma . Com isso, precisamos calcular as derivadas primeira e segunda de , ou seja, e .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora, vamos substituir , e na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação:
Simplificando cada termo:
Fatorando :
Isso nos dá a equação característica:

Passo 5

Vamos resolver a equação característica . Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, as raízes são complexas: e .

Resposta

A solução geral da equação é:
ou simplificando:
onde e são constantes arbitrárias.

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