Determine a derivada de terceira ordem da funçāo f(x) = e^(-3 x) / 27.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a terceira derivada da função . Vamos precisar usar o conceito de derivadas sucessivas e saber como derivar funções exponenciais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação à variável . Quando calculamos derivadas sucessivas, como a segunda ou terceira derivada, estamos basicamente analisando como essa taxa de variação muda.

Passo 3

Nossa função é . Podemos simplificar isso reescrevendo como . Isso facilita a hora de derivar, já que a constante pode ser tratada separadamente.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada . A derivada de em relação a é , onde . Então:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda derivada . Derivando :

Passo 6

Por fim, calculamos a terceira derivada . Derivando :

Resposta

A terceira derivada da função é .

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