Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender um pouco de cálculo e análise de funções, como encontrar interceptos, comportamento da função, derivadas para identificar onde ela está aumentando ou diminuindo, e limites para ver como ela se comporta quando
vai para infinito positivo ou negativo. Vamos precisar de conhecimentos básicos de funções exponenciais, derivadas e limites para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
A função
é composta por uma parte linear (
) e uma exponencial (
). Ambas essas funções estão definidas para todos os números reais.
Então, o domínio de
é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Vamos encontrar os interceptos com os eixos
e
.
-
Intercepto com o eixo
: é o ponto onde . Então, o intercepto com oé . -
Intercepto com o eixo
: é o ponto onde . Essa equação não é fácil de resolver analiticamente devido à combinação de termos lineares e exponenciais. Portanto, vamos deixar esse ponto para a análise gráfica posterior.
Passo 4
Agora, vamos analisar se a função está aumentando ou diminuindo em certos intervalos. Para isso, precisamos calcular a derivada
.
Calculando a derivada:
Então,
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de
:
- Se
, a função está aumentando. - Se
, a função está diminuindo.
Vamos resolver
para encontrar possíveis pontos críticos:
Então, em
, a derivada é zero.
- Para
: (função está diminuindo). - Para
: (função está aumentando).
Portanto, a função tem um ponto mínimo em
.
Passo 5
Vamos analisar os limites da função quando
tende ao infinito positivo e negativo para entender o comportamento geral do gráfico.
-
Limite quando
: Porquecresce sem limites e tende a 0. -
Limite quando
: Porquetende a e cresce para . Nesse caso, o crescimento de domina, então o limite tende a .
Conclusão dos limites:
- Quando
vai para , vai para . - Quando
vai para , também vai para .
Isso indica que não há assíntotas horizontais.
Passo 6
Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Domínio:
. - Intercepto com
: . - Comportamento:
- A função está diminuindo para
. - Tem um ponto mínimo em
. - Está aumentando para
.
- A função está diminuindo para
- Limites:
-
. -
.
-
Como a equação para o intercepto com o
não foi resolvida analiticamente, podemos usar valores aproximados ou a análise gráfica para estimar onde a função cruza o eixo
.
Passos para esboçar o gráfico:
- Marque o intercepto
. - Marque o ponto mínimo em
: Simplificando: Então, o ponto mínimo é aproximadamente . - Desenhe a curva que desce até esse ponto e depois sobe, seguindo os limites que vimos.
- Indique que a função tende a
em ambas as direções.
Resposta
O gráfico da função
possui um intercepto em
, um ponto mínimo aproximado em
e cresce indefinidamente para ambos os lados de
. A função está diminuindo para
e aumentando para
, sem assíntotas horizontais. O esboço apresenta uma curva suave que desce até o ponto mínimo e depois sobe, indo para
quando
tende a
.
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