Esboce o gráfico das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender um pouco de cálculo e análise de funções, como encontrar interceptos, comportamento da função, derivadas para identificar onde ela está aumentando ou diminuindo, e limites para ver como ela se comporta quando vai para infinito positivo ou negativo. Vamos precisar de conhecimentos básicos de funções exponenciais, derivadas e limites para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função é composta por uma parte linear ( ) e uma exponencial ( ). Ambas essas funções estão definidas para todos os números reais.
Então, o domínio de é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Vamos encontrar os interceptos com os eixos e .
  1. Intercepto com o eixo : é o ponto onde .
    Então, o intercepto com o é .
  2. Intercepto com o eixo : é o ponto onde .
    Essa equação não é fácil de resolver analiticamente devido à combinação de termos lineares e exponenciais. Portanto, vamos deixar esse ponto para a análise gráfica posterior.

Passo 4

Agora, vamos analisar se a função está aumentando ou diminuindo em certos intervalos. Para isso, precisamos calcular a derivada .
Calculando a derivada:
Então,
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos o sinal de :
  • Se , a função está aumentando.
  • Se , a função está diminuindo.
Vamos resolver para encontrar possíveis pontos críticos:
Então, em , a derivada é zero.
  • Para : (função está diminuindo).
  • Para : (função está aumentando).
Portanto, a função tem um ponto mínimo em .

Passo 5

Vamos analisar os limites da função quando tende ao infinito positivo e negativo para entender o comportamento geral do gráfico.
  1. Limite quando :
    Porque cresce sem limites e tende a 0.
  2. Limite quando :
    Porque tende a e cresce para . Nesse caso, o crescimento de domina, então o limite tende a .
Conclusão dos limites:
  • Quando vai para , vai para .
  • Quando vai para , também vai para .
Isso indica que não há assíntotas horizontais.

Passo 6

Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Domínio: .
  • Intercepto com : .
  • Comportamento:
    • A função está diminuindo para .
    • Tem um ponto mínimo em .
    • Está aumentando para .
  • Limites:
    • .
    • .
Como a equação para o intercepto com o não foi resolvida analiticamente, podemos usar valores aproximados ou a análise gráfica para estimar onde a função cruza o eixo .
Passos para esboçar o gráfico:
  1. Marque o intercepto .
  2. Marque o ponto mínimo em : Simplificando: Então, o ponto mínimo é aproximadamente .
  3. Desenhe a curva que desce até esse ponto e depois sobe, seguindo os limites que vimos.
  4. Indique que a função tende a em ambas as direções.

Resposta

O gráfico da função possui um intercepto em , um ponto mínimo aproximado em e cresce indefinidamente para ambos os lados de . A função está diminuindo para e aumentando para , sem assíntotas horizontais. O esboço apresenta uma curva suave que desce até o ponto mínimo e depois sobe, indo para quando tende a .

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