Determine a derivada.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada de
. Esse problema está na área de cálculo diferencial, especificamente utilizando a regra da cadeia e as derivadas de funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar conhecer a derivada da função secante e aplicar a regra da cadeia adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Aqui, temos uma função composta: a função externa é o quadrado e a função interna é
.
Passo 3
Para derivar
, onde
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 4
Primeiro, derivamos a função externa
em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos a função interna
em relação a
. Sabemos que:
onde
.
Passo 6
Derivamos
em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos
na derivada da função interna:
Passo 8
Voltando à regra da cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
Passo 9
Simplificamos a expressão multiplicando os coeficientes:
Resposta
A derivada de
é:
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Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
em cossenos, período 4;