Determine a derivada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que a tangente () é igual a . Substituindo isso na função original:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação das regras de derivação:
Aqui, transformamos em .

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto para derivar . A regra do produto diz que se , então . Nesse caso, e .

Passo 5

Primeiro, vamos derivar :

Passo 6

Agora, vamos derivar . Usaremos a regra da cadeia. A derivada de é . Aqui, :

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 8

Podemos fatorar :
Sabendo que :

Resposta

A derivada da função é:

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