Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz real da equação no intervalo especificado:
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.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que a equação
tem uma solução real no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de uma raiz em um intervalo se a função for contínua e os valores nos extremos do intervalo tiverem sinais opostos.
Passo 2
Vamos definir a função envolvida na equação. Aqui, temos
. Queremos encontrar um valor de
tal que
, ou seja,
.
Passo 3
O próximo passo é verificar se a função
é contínua no intervalo
. Sabemos que funções polinomiais, como
, são contínuas em todo o seu domínio. Portanto,
é contínua em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo:
- Para
: - Para
:
Passo 5
Observamos que
e
. Ou seja, a função muda de negativo para positivo no intervalo
.
Passo 6
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
Passo 7
Aplicando o teorema, como
e
, existe pelo menos um valor de
em
tal que
. Ou seja, existe uma raiz real da equação
nesse intervalo.
Resposta
Existe uma raiz real da equação
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que
.
Determine a derivada.
(a)
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde
é a taxa de nascimento dos peixes,
é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e
é a percentagem da população que é colhida.
a) Qual o valor de corresponde à população estável?
a) Qual o valor de