Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz real da equação no intervalo especificado:
© .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que a equação tem uma solução real no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de uma raiz em um intervalo se a função for contínua e os valores nos extremos do intervalo tiverem sinais opostos.

Passo 2

Vamos definir a função envolvida na equação. Aqui, temos . Queremos encontrar um valor de tal que , ou seja, .

Passo 3

O próximo passo é verificar se a função é contínua no intervalo . Sabemos que funções polinomiais, como , são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, é contínua em .

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função nos extremos do intervalo:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Observamos que e . Ou seja, a função muda de negativo para positivo no intervalo .

Passo 6

De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.

Passo 7

Aplicando o teorema, como e , existe pelo menos um valor de em tal que . Ou seja, existe uma raiz real da equação nesse intervalo.

Resposta

Existe uma raiz real da equação no intervalo .

Exercícios relacionados

Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que .
Determine a derivada.
(a)
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e é a percentagem da população que é colhida.
a) Qual o valor de corresponde à população estável?