Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área que está dentro da primeira curva
e fora da segunda curva
. A gente vai usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de áreas para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas curvas. Em coordenadas polares,
é um tipo de cardioide, e
é uma circunferência. A gente precisa descobrir onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa área.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Então, as curvas se cruzam quando
.
Passo 4
Agora, vamos visualizar a região que queremos calcular. Como as curvas se encontram em
, precisamos determinar os limites de integração para calcular a área entre elas. Observando os gráficos, percebemos que a área de interesse está entre
e
.
Passo 5
A fórmula para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui,
é a curva que está por fora e
é a que está por dentro na região considerada.
Passo 6
Identificando as curvas,
está por dentro e
está por fora no intervalo de
a
. Portanto, nossa fórmula fica:
Passo 7
Vamos expandir os quadrados:
Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo. Lembre-se que:
Aplicando isso na nossa integral:
Simplificando:
Passo 9
Vamos avaliar nos limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Portanto:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor positivo:
Resposta
A área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva é de 4 unidades de área.
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