Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a área que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva . A gente vai usar conhecimentos de coordenadas polares e cálculo de áreas para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas curvas. Em coordenadas polares, é um tipo de cardioide, e é uma circunferência. A gente precisa descobrir onde essas duas curvas se encontram para saber os limites da nossa área.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo isso:
Então, as curvas se cruzam quando .

Passo 4

Agora, vamos visualizar a região que queremos calcular. Como as curvas se encontram em , precisamos determinar os limites de integração para calcular a área entre elas. Observando os gráficos, percebemos que a área de interesse está entre e .

Passo 5

A fórmula para calcular a área entre duas curvas em coordenadas polares é:
Aqui, é a curva que está por fora e é a que está por dentro na região considerada.

Passo 6

Identificando as curvas, está por dentro e está por fora no intervalo de a . Portanto, nossa fórmula fica:

Passo 7

Vamos expandir os quadrados:
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo. Lembre-se que:
Aplicando isso na nossa integral:
Simplificando:

Passo 9

Vamos avaliar nos limites de integração:
Para :
Para :
Portanto:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor positivo:

Resposta

A área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva é de 4 unidades de área.

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