M <= g(x) <= N, x in Dom f
Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que lim x a[f(x) g(x)]=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que está limitada entre dois valores, ou seja, para todo no domínio de . O objetivo é usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich) para mostrar que o limite de quando se aproxima de é igual a zero.
Para resolver isso, precisamos entender:
  • Teorema do Confronto: nos ajuda a calcular limites de funções que estão “presas” entre duas outras funções cujo limite é conhecido.
  • Propriedades dos limites: especialmente como limites de produtos funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Confronto. Ele diz que se e , então .
No nosso caso, temos . Para usar o Teorema do Confronto, precisamos relacionar com funções que têm limites conhecidos.

Passo 3

Sabemos que M f(x) <= f(x)g(x) <= N f(x) . Vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por . A multiplicação por depende do sinal de , mas para simplificação, vamos assumir que tende a zero, o que é comum em problemas que pedem para mostrar que um produto tende a zero.
Portanto, multiplicando:

Passo 4

Agora, vamos analisar os limites das funções que estão nos extremos da desigualdade:
  • limx to a M f(x) = 0
  • limx to a N f(x) = 0
Se , então:

Passo 5

Com esses limites, aplicamos o Teorema do Confronto. Sabemos que:
limx to a M f(x) = 0
limx to a N f(x) = 0
E como limx to a f(x)g(x) = 0 , então pelo teorema:

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Confronto, mostramos que:
limx to a [f(x)g(x)] = 0

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