Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que está limitada entre dois valores, ou seja,
para todo
no domínio de
. O objetivo é usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich) para mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a zero.
Para resolver isso, precisamos entender:
- Teorema do Confronto: nos ajuda a calcular limites de funções que estão “presas” entre duas outras funções cujo limite é conhecido.
- Propriedades dos limites: especialmente como limites de produtos funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Confronto. Ele diz que se
e
, então
.
No nosso caso, temos
. Para usar o Teorema do Confronto, precisamos relacionar
com funções que têm limites conhecidos.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por
. A multiplicação por
depende do sinal de
, mas para simplificação, vamos assumir que
tende a zero, o que é comum em problemas que pedem para mostrar que um produto tende a zero.
Portanto, multiplicando:
Passo 4
Agora, vamos analisar os limites das funções que estão nos extremos da desigualdade:
Se
, então:
Passo 5
Com esses limites, aplicamos o Teorema do Confronto. Sabemos que:
E como
, então pelo teorema:
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Confronto, mostramos que:
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Determine a derivada.
Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias. Use o Método dos Coeficientes a Determinar ou Variação de Parâmetros.
Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz real da equação no intervalo especificado:
© .
©
(a)