Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias. Use o Método dos Coeficientes a Determinar ou Variação de Parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial ordinária . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicaremos o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar a solução geral. Precisaremos resolver a equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Isso significa que estamos ignorando o lado direito da equação original. Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
Como temos raízes imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observamos que o lado direito é , que é um polinômio de segundo grau multiplicado por uma exponencial.
Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, nossa suposição para a solução particular será:
Aqui, , e são coeficientes que vamos encontrar.

Passo 4

Vamos derivar para substituir na equação original. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Substituindo e na equação :
Simplificando:
Igualando os coeficientes:

Passo 5

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Determine a derivada.
Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que .