Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias. Use o Método dos Coeficientes a Determinar ou Variação de Parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial ordinária
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicaremos o Método dos Coeficientes a Determinar para encontrar a solução geral. Precisaremos resolver a equação homogênea associada e depois achar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Isso significa que estamos ignorando o lado direito da equação original. Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
Como temos raízes imaginárias, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Observamos que o lado direito é
, que é um polinômio de segundo grau multiplicado por uma exponencial.
Pelo Método dos Coeficientes a Determinar, nossa suposição para a solução particular
será:
Aqui,
,
e
são coeficientes que vamos encontrar.
Passo 4
Vamos derivar
para substituir na equação original. Primeiro, a primeira derivada:
E a segunda derivada:
Substituindo
e
na equação
:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Passo 5
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.
Determine a derivada.
Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que
.