Determine a derivada. y = raiz(3)(8 x^3 + 27)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e a regra do poder. Vamos precisar reescrever a função de uma forma mais fácil de derivar e depois aplicar essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em uma forma que facilita a aplicação das regras de derivação. A raiz cúbica pode ser expressa como uma potência fracionária:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do poder, que diz que a derivada de é , onde é uma função de e é a derivada de .
Neste caso, e .

Passo 4

Calculamos a derivada de , que é . Derivando cada termo:
Portanto, .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do poder:
Simplificando o expoente:
Então:

Passo 6

Agora, simplificamos os coeficientes:
Portanto:

Resposta

A derivada da função é:

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