Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
em cossenos, período 4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier em cossenos para a função definida por:
com período 4. Isso significa que queremos expressar essa função como uma soma de cossenos. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da série de Fourier para funções pares (já que estamos usando apenas cossenos) e entender como calcular os coeficientes dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier em cossenos para uma função com período tem a forma:
No nosso caso, o período é 4, então , o que dá . Então, a série fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular os coeficientes e . A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular . A função é 0 de 0 a 1 e 1 de 1 a 2. Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que são dados por:
Substituindo :

Passo 6

Vamos calcular . Novamente, dividimos a integral conforme a definição da função:

Passo 7

Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 8

Sabemos que para qualquer inteiro . Então:

Passo 9

Vamos simplificar . Note que depende se é par ou ímpar:
  • Se for par, .
  • Se for ímpar, .
Portanto, será zero para par e diferente de zero para ímpar. Vamos considerar apenas termos ímpares.

Passo 10

Para ímpar, digamos , onde é inteiro, temos:
Isso porque .

Passo 11

Agora, podemos escrever a série de Fourier em cossenos usando os coeficientes que encontramos:
Substituindo e :

Resposta

A série de Fourier em cossenos para a função dada é:

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