Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
em cossenos, período 4;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a série de Fourier em cossenos para a função
definida por:
com período 4. Isso significa que queremos expressar essa função como uma soma de cossenos. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da série de Fourier para funções pares (já que estamos usando apenas cossenos) e entender como calcular os coeficientes dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier em cossenos para uma função com período
tem a forma:
No nosso caso, o período é 4, então
, o que dá
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular os coeficientes
e
. A fórmula para
é:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular
. A função
é 0 de 0 a 1 e 1 de 1 a 2. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que são dados por:
Substituindo
:
Passo 6
Vamos calcular
. Novamente, dividimos a integral conforme a definição da função:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 8
Sabemos que
para qualquer inteiro
. Então:
Passo 9
Vamos simplificar
. Note que
depende se
é par ou ímpar:
- Se
for par, . - Se
for ímpar, .
Portanto,
será zero para
par e diferente de zero para
ímpar. Vamos considerar apenas termos ímpares.
Passo 10
Para
ímpar, digamos
, onde
é inteiro, temos:
Isso porque
.
Passo 11
Agora, podemos escrever a série de Fourier em cossenos usando os coeficientes que encontramos:
Substituindo
e
:
Resposta
A série de Fourier em cossenos para a função dada é:
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