Determine a derivada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o uso da Regra do Quociente e da Regra do Produto. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e a função arco-tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que formam um quociente. Temos:
- Numerador (N):
- Denominador (D):
A Regra do Quociente nos diz que a derivada de
é dada por
.
Passo 3
Vamos derivar o numerador
. Como é um produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que afirma que
.
Aqui,
e
.
- Derivada de
: - Derivada de
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar o denominador
. Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é necessária quando temos uma função composta.
- Função externa:
, cuja derivada é - Função interna:
, cuja derivada é
Então,
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribua
no primeiro termo:
E o segundo termo:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Podemos fatorar
no numerador:
Podemos deixar a resposta assim ou simplificar mais, mas geralmente essa forma já é adequada para a derivada da função dada.
Resposta
A derivada de
é:
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Determine a derivada
Expresse
em termos de
e de
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Encontre a área da região entre as curvas
e
.
Escolha uma opção:
a. -9
b. 9
c. 27
d. -27
e. 0
Escolha uma opção:
a. -9
b. 9
c. 27
d. -27
e. 0
Mostre que a equação
possui, pelo menos, duas soluções reais.