Determine a derivada

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o uso da Regra do Quociente e da Regra do Produto. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e a função arco-tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que formam um quociente. Temos:
  • Numerador (N):
  • Denominador (D):
A Regra do Quociente nos diz que a derivada de é dada por .

Passo 3

Vamos derivar o numerador . Como é um produto de duas funções, usamos a Regra do Produto, que afirma que .
Aqui, e .
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Então,

Passo 4

Agora, vamos derivar o denominador . Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que é necessária quando temos uma função composta.
  • Função externa: , cuja derivada é
  • Função interna: , cuja derivada é
Então,

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribua no primeiro termo:
E o segundo termo:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Podemos fatorar no numerador:
Podemos deixar a resposta assim ou simplificar mais, mas geralmente essa forma já é adequada para a derivada da função dada.

Resposta

A derivada de é:

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Determine a derivada
Expresse em termos de e de , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação
Encontre a área da região entre as curvas e .
Escolha uma opção:
a. -9
b. 9
c. 27
d. -27
e. 0
Mostre que a equação possui, pelo menos, duas soluções reais.