Determine a diferencial de
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a diferencial de
. Para isso, temos que saber que e
.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com diferenciais de funções de várias variáveis. Vamos precisar aplicar a regra da diferenciação total para encontrar a diferencial de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a diferencial de uma função de duas variáveis. Se
, então a diferencial
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e multiplicar cada uma pela diferencial correspondente
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos expressar
e
em termos de
e
, já que
e
são funções de
e
.
Dadas as funções:
Vamos calcular as diferenciais
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Vamos agora substituir
,
,
e
na expressão de
:
Substituindo
e :
Passo 6
Agora, vamos expandir essa expressão:
Primeiro, multiplique por e
:
Em seguida, multiplique por
e
:
Passo 7
Agora, simplificamos cada termo:
Para os termos com
:
Combine os termos semelhantes:
Para os termos com
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, juntamos tudo para obter a diferencial
:
Resposta
A diferencial de
é:
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no ponto
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no ponto
.
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Determine a derivada de
no ponto
, na direção
.