Determine a diferencial de z = x*y - 4*x^2, onde x = rho sen(theta) e x = rho^2 * theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a diferencial de . Para isso, temos que saber que e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com diferenciais de funções de várias variáveis. Vamos precisar aplicar a regra da diferenciação total para encontrar a diferencial de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a diferencial de uma função de duas variáveis. Se , então a diferencial é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e multiplicar cada uma pela diferencial correspondente e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos expressar e em termos de e , já que e são funções de e .
Dadas as funções:
Vamos calcular as diferenciais e :
Para :
Para :

Passo 5

Vamos agora substituir , , e na expressão de :
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos expandir essa expressão:
Primeiro, multiplique por e :
Em seguida, multiplique por e :

Passo 7

Agora, simplificamos cada termo:
Para os termos com :
Combine os termos semelhantes:
Para os termos com :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, juntamos tudo para obter a diferencial :

Resposta

A diferencial de é:

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