Determine as derivadas das funções abaixo: g(x) = x / (tg^2(x) + x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . A gente vai usar o conteúdo de cálculo de derivadas, mais especificamente a regra do quociente e a derivada da função tangente. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do quociente. Se você tem uma função que é o quociente de duas outras funções, ou seja, , a derivada dessa função é dada por:
Essa regra vai nos ajudar a encontrar a derivada de .

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função de acordo com a regra que vimos:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

A derivada de é bem simples:
Isso porque a taxa de variação de em relação a é 1.

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, a derivada de . Aqui, usamos a regra da cadeia:
Depois, a derivada de é:
Então, juntando tudo:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:
Isso nos dá a derivada de .

Resposta

A derivada da função é:

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