Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis. g(x, y) = (x * y + y^2 + 1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas da função em relação às suas variáveis. Isso significa que vamos precisar encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e as propriedades das derivadas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
  1. Identifique a função interna e a externa: Aqui, a função interna é e a função externa é .
  2. Derive a função externa em relação a : .
  3. Derive a função interna em relação a : .
  4. Aplique a regra da cadeia: Multiplicamos as duas derivadas:
  5. Substitua de volta na expressão:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
  1. Identifique a função interna e a externa: Novamente, e .
  2. Derive a função externa em relação a : .
  3. Derive a função interna em relação a :
  4. Aplique a regra da cadeia: Multiplicamos as duas derivadas:
  5. Substitua de volta na expressão:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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