Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis. f(x, y) = 3x^3 - 2x^2y + xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar as derivadas dessa função em relação a cada variável, ou seja, e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos permite derivar funções de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
  • (usamos a regra do poder: )
  • (a constante aqui é , então derivamos que dá )
  • (já que é constante e )
Então, somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Desta vez, tratamos como uma constante.
Derivando a função:
Derivando termo a termo:
  • (pois não há nesse termo)
  • (a constante aqui é )
  • (já que é constante e )
Então, somando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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