Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis. f(t, v) = ln(raiz((t + v) / (t - v)))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de duas variáveis, e . A função é . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis, ou seja, e . Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que . Então, podemos reescrever a função assim:
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Para derivar em relação a , usamos a regra da derivada do logaritmo, que diz que . Aplicando isso:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Podemos simplificar combinando as frações:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a . Usamos o mesmo processo:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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