Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que depende de duas variáveis,
e
. A função é
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a cada uma das variáveis, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra da cadeia e propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que
. Então, podemos reescrever a função assim:
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da derivada do logaritmo, que diz que
. Aplicando isso:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Podemos simplificar combinando as frações:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
. Usamos o mesmo processo:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e