Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função
usando a regra de derivação da função inversa. Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a regra da derivada para funções inversas e aplicar isso à função arcsecante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se você tem uma função
, a função inversa é aquela que “desfaz”
, ou seja,
. A arcsecante,
, é a função inversa da secante, então
significa que
.
Passo 3
A regra da derivada para funções inversas nos diz que:
onde
. No nosso caso, queremos
para
, então precisamos relacionar isso com a função secante.
Passo 4
Sabemos que se
, então
. Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Aqui, usei a regra da cadeia na derivada de
.
Passo 5
Agora, queremos isolar
, que é
:
Mas
e
(vindo do triângulo retângulo associado à função secante). Então podemos substituir:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de
. Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.
Sejam
e
conjuntos. Prove as seguintes proposições:
.
Seja
uma função duas vezes derivável em
, e considere a função
chamada de polinômio de Taylor de ordem 2 de
em torno de
. O erro da aproximação de
por
é
. Mostre que
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.