Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função usando a regra de derivação da função inversa. Isso está dentro do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a regra da derivada para funções inversas e aplicar isso à função arcsecante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Se você tem uma função , a função inversa é aquela que “desfaz” , ou seja, . A arcsecante, , é a função inversa da secante, então significa que .

Passo 3

A regra da derivada para funções inversas nos diz que:
onde . No nosso caso, queremos para , então precisamos relacionar isso com a função secante.

Passo 4

Sabemos que se , então . Vamos derivar ambos os lados em relação a :
Aqui, usei a regra da cadeia na derivada de .

Passo 5

Agora, queremos isolar , que é :
Mas e (vindo do triângulo retângulo associado à função secante). Então podemos substituir:

Resposta

A derivada da função é:

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Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de . Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.
Sejam e conjuntos. Prove as seguintes proposições: .
Seja uma função duas vezes derivável em , e considere a função
chamada de polinômio de Taylor de ordem 2 de em torno de . O erro da aproximação de por é . Mostre que
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.