Seja uma função duas vezes derivável em , e considere a função
chamada de polinômio de Taylor de ordem 2 de em torno de . O erro da aproximação de por é . Mostre que

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é duas vezes derivável no ponto . A gente está trabalhando com o polinômio de Taylor de ordem 2, , que aproxima a função perto de . O objetivo aqui é mostrar que o erro dessa aproximação, representado por , dividido por tende a zero quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como analisar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio de Taylor de ordem 2. Ele é dado por:
Esse polinômio é uma aproximação da função perto de , levando em conta a função e suas duas primeiras derivadas nesse ponto.

Passo 3

Agora, o erro da aproximação é definido como:
Queremos analisar o limite de quando se aproxima de .

Passo 4

Para entender esse limite, vamos usar o Teorema de Taylor com o Lagrange, que nos diz que existe um ponto entre e tal que:
Aqui, é a terceira derivada de avaliada em algum ponto entre e .

Passo 5

Substituindo isso na expressão do erro, temos:

Passo 6

Agora, vamos dividir o erro por :

Passo 7

Para encontrar o limite quando tende a , observamos que tende a 0. Como é duas vezes derivável, é limitada perto de . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa:
Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A escada começa a escorregar, de modo que o pé da escada se distancia da parede a uma velocidade de . Calcule a velocidade com que o topo da escada se aproxima do solo quando este está a 5 m de altura.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
, em