Seja f uma função duas vezes derivável em a, e considere a função
P2(x)=f(a)+f^prime(a)(x-1)+12 f^prime prime(a)(x-a)^2
chamada de polinômio de Taylor de ordem 2 de f em torno de x=a. O erro da aproximação de f(x) por P2(x) é E(x)=f(x)-P2(x). Mostre que
lim x a E(x)(x-a)^2=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é duas vezes derivável no ponto . A gente está trabalhando com o polinômio de Taylor de ordem 2, , que aproxima a função perto de . O objetivo aqui é mostrar que o erro dessa aproximação, representado por , dividido por tende a zero quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como analisar limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio de Taylor de ordem 2. Ele é dado por:
P2(x) = f(a) + f^prime(a)(x - a) + 12 f^prime prime(a)(x - a)^2
Esse polinômio é uma aproximação da função perto de , levando em conta a função e suas duas primeiras derivadas nesse ponto.

Passo 3

Agora, o erro da aproximação é definido como:
E(x) = f(x) - P2(x)
Queremos analisar o limite de quando se aproxima de .

Passo 4

Para entender esse limite, vamos usar o Teorema de Taylor com o Lagrange, que nos diz que existe um ponto f(x) = P2(x) + f^prime prime prime(c)6 (x - a)^3 entre e tal que:
Aqui, é a terceira derivada de avaliada em algum ponto entre e .

Passo 5

Substituindo isso na expressão do erro, temos:
E(x) = f(x) - P2(x) = f^prime prime prime(c)6 (x - a)^3

Passo 6

Agora, vamos dividir o erro por E(x)(x - a)^2 = f^prime prime prime(c)6 (x - a) :

Passo 7

Para encontrar o limite quando limx to a E(x)(x - a)^2 = limx to a f^prime prime prime(c)6 (x - a) = 0 tende a , observamos que tende a 0. Como é duas vezes derivável, é limitada perto de . Portanto:

Resposta

Assim, mostramos que:
limx a E(x)(x-a)^2 = 0

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