Seja
uma função duas vezes derivável em
, e considere a função
chamada de polinômio de Taylor de ordem 2 de
em torno de
. O erro da aproximação de
por
é
. Mostre que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é duas vezes derivável no ponto
. A gente está trabalhando com o polinômio de Taylor de ordem 2,
, que aproxima a função
perto de
. O objetivo aqui é mostrar que o erro dessa aproximação, representado por
, dividido por
tende a zero quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como analisar limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio de Taylor de ordem 2. Ele é dado por:
Esse polinômio é uma aproximação da função
perto de
, levando em conta a função e suas duas primeiras derivadas nesse ponto.
Passo 3
Agora, o erro da aproximação é definido como:
Queremos analisar o limite de
quando
se aproxima de
.
Passo 4
Para entender esse limite, vamos usar o Teorema de Taylor com o Lagrange, que nos diz que existe um ponto
entre
e
tal que:
Aqui,
é a terceira derivada de
avaliada em algum ponto
entre
e
.
Passo 5
Substituindo isso na expressão do erro, temos:
Passo 6
Agora, vamos dividir o erro por
:
Passo 7
Para encontrar o limite quando
tende a
, observamos que
tende a 0. Como
é duas vezes derivável,
é limitada perto de
. Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que: