Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial, ou seja, uma equação diferencial com uma condição específica. Aqui, a equação é e a condição é que . Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais, especialmente de separação de variáveis, para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . A equação relaciona a taxa de variação de em relação a com e em si. Para resolver isso, vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para separar e :
Agora, temos de um lado e do outro, prontos para integrar.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração racional, que podemos simplificar:
Sabemos que , então usamos a decomposição em frações parciais:
Assim, a integral fica:
Do lado direito, a integral de é:
Passo 5
Igualando as integrais e combinando as constantes:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é apenas uma nova constante.
Passo 6
Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever isso como:
Onde , que é apenas uma constante qualquer.
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial . Substituindo e na equação: