Encontre as soluções dos seguintes p.v.i:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial, ou seja, uma equação diferencial com uma condição específica. Aqui, a equação é e a condição é que . Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais, especialmente de separação de variáveis, para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . A equação relaciona a taxa de variação de em relação a com e em si. Para resolver isso, vamos separar as variáveis e para lados opostos da equação.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para separar e :
Agora, temos de um lado e do outro, prontos para integrar.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração racional, que podemos simplificar:
Sabemos que , então usamos a decomposição em frações parciais:
Assim, a integral fica:
Do lado direito, a integral de é:

Passo 5

Igualando as integrais e combinando as constantes:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por 2:
Onde é apenas uma nova constante.

Passo 6

Para resolver para , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Podemos reescrever isso como:
Onde , que é apenas uma constante qualquer.

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial . Substituindo e na equação:
Portanto, a equação fica:
Isso implica que , ou seja, .

Resposta

A solução do problema é .

Exercícios relacionados

Verifique se as seguintes equações são exatas e em caso afirmativo, encontre as famílias de soluções: .
Resolva:
Resolva: .
Determine as derivadas das funções abaixo utilizando a regra de derivação da função inversa: