Determine as derivadas das funcoes
c) f(x) = (x^2 + 1) * (2x + 1)
y = (x + 1) / (x^2 - 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas das funções que você me enviou. Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, focando em regras de derivação como a regra do produto e a regra da divisão. Para isso, vamos precisar entender essas regras e aplicá-las passo a passo nas funções dadas.

Passo 2

Função c):
Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Como temos o produto de duas funções, vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos uma função , então a derivada é:
Aqui, podemos identificar:
Passo 2.1: Encontrar e
Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Passo 2.2: Aplicar a regra do produto
Agora, substituímos na fórmula da regra do produto:
Passo 2.3: Simplificar a expressão
Vamos multiplicar e simplificar:

Passo 3

Função
Agora, vamos encontrar a derivada de . Aqui temos uma função racional, onde uma função está dividida por outra. Para derivar isso, usamos a regra da divisão (ou regra do quociente). A regra da divisão diz que se temos , então a derivada é:
Aqui, identificamos:
Passo 3.1: Encontrar e
Vamos derivar cada parte:
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Passo 3.2: Aplicar a regra da divisão
Substituindo na fórmula:
Passo 3.3: Simplificar a expressão
Vamos expandir e simplificar o numerador:
Portanto, a derivada fica:

Resposta

As derivadas das funções são:
c)
d)

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