Determine as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
. Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a
. Para isso, vamos usar as regras de derivação que conhecemos, como a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é um produto de três partes:
,
e
. Quando temos um produto de várias funções, a regra do produto nos diz que a derivada vai envolver a derivada de cada parte multiplicada pelas outras partes não derivadas.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do produto para três funções. A derivada de
é:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de cada parte:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da regra do produto:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Então, a derivada fica:
Passo 7
Podemos fatorar
nos últimos dois termos:
Passo 8
Reconhecemos que
, uma identidade trigonométrica. Então:
Além disso,
. Substituindo:
Resposta
A derivada da função
é:
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Calcule as seguintes derivadas: