Determine as derivadas das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a . Para isso, vamos usar as regras de derivação que conhecemos, como a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é um produto de três partes: , e . Quando temos um produto de várias funções, a regra do produto nos diz que a derivada vai envolver a derivada de cada parte multiplicada pelas outras partes não derivadas.

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto para três funções. A derivada de é:
No nosso caso, , e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de cada parte:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da regra do produto:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Então, a derivada fica:

Passo 7

Podemos fatorar nos últimos dois termos:

Passo 8

Reconhecemos que , uma identidade trigonométrica. Então:
Além disso, . Substituindo:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule as seguintes derivadas: