Determine as derivadas indicadas: fx e fy para f(x, y) = (y^2 * tan(x))^(-4/3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . A função que estamos trabalhando é . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e lembrar como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , a derivada de em relação a . A função pode ser vista como uma função composta, onde temos uma função externa e uma função interna .
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:
Agora, precisamos encontrar :
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos simplificar :
Podemos reescrever isso como:
Simplificando os termos com :

Passo 4

Agora, vamos encontrar , a derivada de em relação a . Novamente, usamos a regra da cadeia. A função interna agora é .
Derivando em relação a :
Calculando :
Substituindo de volta:

Passo 5

Vamos simplificar :
Reescrevendo os termos:
Simplificando os termos com e :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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