Determine um ponto da superfície z = 3 x^2 - y^2 no qual o plano tangente é paralelo ao plano 6x + 4y - z = 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um ponto na superfície definida por onde o plano tangente a essa superfície seja paralelo ao plano . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com planos tangentes e superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície e como identificar quando dois planos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto específico pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a superfície é dada por . Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 3

O próximo passo é escrever a equação do plano tangente usando essas derivadas. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 4

Agora, queremos que esse plano tangente seja paralelo ao plano . Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal do nosso plano tangente é e o vetor normal do plano dado é .
Para que sejam paralelos, deve existir um número tal que:

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar , e :
Da terceira equação:
Substituindo nas duas primeiras equações:

Passo 6

Agora que temos e , podemos encontrar usando a equação da superfície:

Resposta

O ponto na superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano é .

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