Determine um ponto da superfície no qual o plano tangente é paralelo ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um ponto na superfície definida por onde o plano tangente a essa superfície seja paralelo ao plano . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com planos tangentes e superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície e como identificar quando dois planos são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto específico pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. No nosso caso, a superfície é dada por . Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 3
O próximo passo é escrever a equação do plano tangente usando essas derivadas. A fórmula geral do plano tangente a uma superfície no ponto é:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 4
Agora, queremos que esse plano tangente seja paralelo ao plano . Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal do nosso plano tangente é e o vetor normal do plano dado é .
Para que sejam paralelos, deve existir um número tal que:
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar , e :
Da terceira equação:
Substituindo nas duas primeiras equações:
Passo 6
Agora que temos e , podemos encontrar usando a equação da superfície:
Resposta
O ponto na superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano é .