O método da exaustão, considerado como o precursor dos métodos de cálculo, é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Arquimedes usou tal método para calcular uma aproximação de pi, preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. Para exemplificar esse método, faça o seguinte:
(a) Seja An a área de um polígono com n lados iguais inscrito em um círculo de raio r. Dividindo o polígono em n triângulos congruentes com ângulo central 2 pin, mostre que
An=12 n r^2 sen(2 pin)
(b) Verifique que lim n longrightarrow infty An=pi r^2 e interprete!

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o método da exaustão, que é uma técnica antiga para calcular áreas usando polígonos inscritos em uma figura. Neste caso, temos um círculo de raio e queremos calcular a área de um polígono regular de lados inscrito nesse círculo. Precisaremos usar conceitos de geometria, como a divisão do polígono em triângulos e o uso de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um polígono regular de lados inscrito em um círculo de raio . Esse polígono pode ser dividido em triângulos congruentes, cada um com um ângulo central de radianos.

Passo 3

Vamos calcular a área de um desses triângulos. Sabemos que a área de um triângulo com dois lados de comprimento Área do triângulo = 12 r^2 sin(theta) e um ângulo entre eles é dada por:
Áâ
No nosso caso, .

Passo 4

Então, a área de um triângulo é:
Área do triângulo = 12 r^2 sin(2pin) Áâ

Passo 5

Como temos An = n times 12 r^2 sin(2pin) desses triângulos no polígono, a área total do polígono será:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
An = 12 n r^2 sin(2pin)
Isso conclui a parte (a) da questão.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar que:
limn to infty An = pi r^2
Isso significa que, à medida que o número de lados do polígono aumenta indefinidamente, a área do polígono se aproxima da área do círculo.

Passo 8

Vamos analisar o limite:
limn to infty An = limn to infty 12 n r^2 sin(2pin)
Sabemos que quando é pequeno, . Aqui, quando tende ao infinito, tende a zero.

Passo 9

Aplicando essa aproximação:
sin(2pin) approx 2pin
Substituindo na expressão de An approx 12 n r^2 times 2pin = pi r^2 :

Passo 10

Portanto,
limn to infty An = pi r^2
Isso mostra que, conforme o número de lados do polígono aumenta, a área do polígono se aproxima cada vez mais da área do círculo, confirmando o método da exaustão de Arquimedes.

Resposta

(a)
(b) . Isso significa que, conforme o número de lados do polígono aumenta, a área do polígono se aproxima da área do círculo.

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