O método da exaustão, considerado como o precursor dos métodos de cálculo, é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Arquimedes usou tal método para calcular uma aproximação de , preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. Para exemplificar esse método, faça o seguinte:
(a) Seja a área de um polígono com lados iguais inscrito em um círculo de raio . Dividindo o polígono em triângulos congruentes com ângulo central , mostre que
(b) Verifique que e interprete!
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o **método da exaustão**, que é uma técnica antiga para calcular áreas usando polígonos inscritos em uma figura. Neste caso, temos um círculo de raio e queremos calcular a área de um polígono regular de lados inscrito nesse círculo. Precisaremos usar conceitos de geometria, como a divisão do polígono em triângulos e o uso de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um polígono regular de lados inscrito em um círculo de raio . Esse polígono pode ser dividido em triângulos congruentes, cada um com um ângulo central de radianos.
Passo 3
Vamos calcular a área de um desses triângulos. Sabemos que a área de um triângulo com dois lados de comprimento e um ângulo entre eles é dada por:
No nosso caso, .
Passo 4
Então, a área de um triângulo é:
Passo 5
Como temos desses triângulos no polígono, a área total do polígono será:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Isso conclui a parte (a) da questão.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar que:
Isso significa que, à medida que o número de lados do polígono aumenta indefinidamente, a área do polígono se aproxima da área do círculo.
Passo 8
Vamos analisar o limite:
Sabemos que quando é pequeno, . Aqui, quando tende ao infinito, tende a zero.
Passo 9
Aplicando essa aproximação:
Substituindo na expressão de :
Passo 10
Portanto,
Isso mostra que, conforme o número de lados do polígono aumenta, a área do polígono se aproxima cada vez mais da área do círculo, confirmando o método da exaustão de Arquimedes.
Resposta
(a)
(b) . Isso significa que, conforme o número de lados do polígono aumenta, a área do polígono se aproxima da área do círculo.
Exercícios relacionados
Explique o significado dos seguintes limites:
Nos exercícios 35-38, determine os valores minimo e máximo absolutos da função e informe onde ela os assume.
Determine as derivadas indicadas: e para
Utilize as igualdades
válidas para todos , para mostrar as seguintes identidades trigonométricas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) .