O método da exaustão, considerado como o precursor dos métodos de cálculo, é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Arquimedes usou tal método para calcular uma aproximação de , preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. Para exemplificar esse método, faça o seguinte: (a) Seja a área de um polígono com lados iguais inscrito em um círculo de raio . Dividindo o polígono em triângulos congruentes com ângulo central , mostre que (b) Verifique que e interprete!

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o **método da exaustão**, que é uma técnica antiga para calcular áreas usando polígonos inscritos em uma figura. Neste caso, temos um círculo de raio e queremos calcular a área de um polígono regular de lados inscrito nesse círculo. Precisaremos usar conceitos de geometria, como a divisão do polígono em triângulos e o uso de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um polígono regular de lados inscrito em um círculo de raio . Esse polígono pode ser dividido em triângulos congruentes, cada um com um ângulo central de radianos.

Passo 3

Vamos calcular a área de um desses triângulos. Sabemos que a área de um triângulo com dois lados de comprimento e um ângulo entre eles é dada por: Áâ No nosso caso, .

Passo 4

Então, a área de um triângulo é: Áâ

Passo 5

Como temos desses triângulos no polígono, a área total do polígono será:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos: Isso conclui a parte (a) da questão.

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar que: Isso significa que, à medida que o número de lados do polígono aumenta indefinidamente, a área do polígono se aproxima da área do círculo.

Passo 8

Vamos analisar o limite: Sabemos que quando é pequeno, . Aqui, quando tende ao infinito, tende a zero.

Passo 9

Aplicando essa aproximação: Substituindo na expressão de :

Passo 10

Portanto, Isso mostra que, conforme o número de lados do polígono aumenta, a área do polígono se aproxima cada vez mais da área do círculo, confirmando o método da exaustão de Arquimedes.

Resposta

(a) (b) . Isso significa que, conforme o número de lados do polígono aumenta, a área do polígono se aproxima da área do círculo.

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