O método da exaustão, considerado como o precursor dos métodos de cálculo, é um método para se encontrar a área de uma figura inscrevendo-se dentro dela uma sequência de polígonos cuja soma das áreas converge para a área da figura desejada. Arquimedes usou tal método para calcular uma aproximação de
, preenchendo o círculo com polígonos de um número cada vez maior de lados. Para exemplificar esse método, faça o seguinte:
(a) Seja
a área de um polígono com
lados iguais inscrito em um círculo de raio
. Dividindo o polígono em
triângulos congruentes com ângulo central
, mostre que
(b) Verifique que
e interprete!
(a) Seja
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o método da exaustão, que é uma técnica antiga para calcular áreas usando polígonos inscritos em uma figura. Neste caso, temos um círculo de raio
e queremos calcular a área de um polígono regular de
lados inscrito nesse círculo. Precisaremos usar conceitos de geometria, como a divisão do polígono em triângulos e o uso de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um polígono regular de
lados inscrito em um círculo de raio
. Esse polígono pode ser dividido em
triângulos congruentes, cada um com um ângulo central de
radianos.
Passo 3
Vamos calcular a área de um desses triângulos. Sabemos que a área de um triângulo com dois lados de comprimento
e um ângulo
entre eles é dada por:
No nosso caso,
.
Passo 4
Então, a área de um triângulo é:
Passo 5
Como temos
desses triângulos no polígono, a área total do polígono
será:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Isso conclui a parte (a) da questão.
Passo 7
Agora, vamos para a parte (b). Queremos verificar que:
Isso significa que, à medida que o número de lados
do polígono aumenta indefinidamente, a área do polígono se aproxima da área do círculo.
Passo 8
Vamos analisar o limite:
Sabemos que quando
é pequeno,
. Aqui, quando
tende ao infinito,
tende a zero.
Passo 9
Aplicando essa aproximação:
Substituindo na expressão de
:
Passo 10
Portanto,
Isso mostra que, conforme o número de lados do polígono aumenta, a área do polígono se aproxima cada vez mais da área do círculo, confirmando o método da exaustão de Arquimedes.
Resposta
(a)
(b)
. Isso significa que, conforme o número de lados do polígono aumenta, a área do polígono se aproxima da área do círculo.