Determine as derivadas de ordem 1, 2 e 3, para cada uma das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem da função
. A matéria que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente a parte de derivadas. Para resolver, precisamos saber como calcular a derivada de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de primeira ordem
. A derivada basicamente nos diz a inclinação da função em cada ponto. Para cada termo da função, usamos a regra que diz que a derivada de
é
.
Aplicando isso:
- A derivada de
é . - A derivada de
(que é ) é . - A derivada de uma constante, como 1, é 0.
Então, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos para a derivada de segunda ordem
. Isso significa que vamos derivar novamente
.
Temos:
Aplicando a regra da derivada:
- A derivada de
é 6. - A derivada de 1 é 0.
Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada de terceira ordem
. Isso significa derivar
.
Como:
A derivada de uma constante é 0, então:
Resposta
As derivadas de
são:
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Duas fábricas,
e
, que estão a 4 km de distância uma da outra, emitem partículas na forma de fumaça que poluem a área entre as fábricas. Suponha que a fábrica
emite duas vezes mais fumaça que a fábrica
e que na área entre as fábricas o número de partículas emitidas por cada fábrica é inversamente proporcional ao cubo da distância até a fábrica. Determine um ponto, entre as fábricas
e
, tal que a polução é mínima.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Dado que
e que
, encontre o valor de
. Resposta: