Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty n x^n1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 n-1)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso tá dentro do conteúdo de séries de potências e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar utilizar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar o raio de convergência de uma série de potências. Esse teste diz que se a razão for igual a , então a série converge se e diverge se . O ponto onde precisa ser verificado separadamente.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an+1an = (n+1) x^n+11 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 (n+1)-1) cdot 1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 n-1)n x^n = (n+1) x2n + 1 . Precisamos calcular :

Passo 4

Agora, calculamos o limite da razão quando L = limn to infty | (n+1) x2n + 1 | = limn to infty | x cdot n+12n+1 | = | x cdot 12 | = |x|2 tende ao infinito:

Passo 5

Para que a série convirja, precisamos que |x|2 < 1 implies |x| < 2 :
Isso significa que o raio de convergência é 2.

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=1^infty n cdot 2^n1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2n-1) . Precisamos verificar os extremos sumn=1^infty n cdot (-2)^n1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2n-1) e :
  • Para :
Aqui, a série provavelmente diverge porque os termos não tendem a zero.
  • Para :
Essa série também tende a divergir pelos mesmos motivos.
Portanto, os extremos não estão incluídos no intervalo de convergência.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Duas fábricas, A e B, que estão a 4 km de distância uma da outra, emitem partículas na forma de fumaça que poluem a área entre as fábricas. Suponha que a fábrica A emite duas vezes mais fumaça que a fábrica B e que na área entre as fábricas o número de partículas emitidas por cada fábrica é inversamente proporcional ao cubo da distância até a fábrica. Determine um ponto, entre as fábricas A e B, tal que a polução é mínima.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (x-4)^nn 5^n
Determine as derivadas de ordem 1, 2 e 3, para cada uma das seguintes funções
f(x) = 3 x^2 + x + 1.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=0^infty n4^n(2 x-1)^n