Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso tá dentro do conteúdo de séries de potências e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar utilizar o Teste da Razão e entender um pouco sobre séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica para determinar o raio de convergência de uma série de potências. Esse teste diz que se a razão for igual a , então a série converge se e diverge se . O ponto onde precisa ser verificado separadamente.
Agora, calculamos o limite da razão quando L = limn to infty | (n+1) x2n + 1 | = limn to infty | x cdot n+12n+1 | = | x cdot 12 | = |x|2 tende ao infinito:
Passo 5
Para que a série convirja, precisamos que |x|2 < 1 implies |x| < 2 :
Isso significa que o raio de convergência é 2.
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=1^infty n cdot 2^n1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2n-1) . Precisamos verificar os extremos sumn=1^infty n cdot (-2)^n1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2n-1) e :
Para :
Aqui, a série provavelmente diverge porque os termos não tendem a zero.
Para :
Essa série também tende a divergir pelos mesmos motivos.
Portanto, os extremos não estão incluídos no intervalo de convergência.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .