Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A gente tem uma série infinita dada por:
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz até que ponto (em termos de valor de ) a série vai convergir. Já o intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de para os quais a série converge, incluindo as possíveis extremidades.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Identificando an = n4^n(2 x -1)^n na nossa série:
an+1 = n+14^n+1(2 x -1)^n+1
Agora, vamos calcular :
Passo 5
Calculando a razão an+1an = n+14^n+1(2 x -1)^n+1n4^n(2 x -1)^n = n+1n cdot 14 cdot (2x -1) :
an+1an = (1 + 1n) cdot 2x -14
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (1 + 1n) cdot 2x -14 | = | 2x -14 | tende ao infinito:
Pois .
Passo 7
Para a série convergir, precisamos que | 2x -14 | < 1 :
| 2x -1 | < 4
Vamos resolver essa desigualdade:
Passo 8
Removendo o valor absoluto:
-4 < 2x -1 < 4
Agora, vamos isolar -3 < 2x < 5 :
Adicionando 1 em todas as partes:
-1.5 < x < 2.5
Dividindo por 2:
Passo 9
Então, o raio de convergência é igual a 2, pois a metade da largura do intervalo é 2.
Passo 10
Agora, precisamos verificar as extremidades do intervalo para determinar o intervalo de convergência completo.
Para 2(-1.5) -1 = -4 :
Substituindo na s��rie:
sumn=0^infty n4^n(-4)^n = sumn=0^infty n (-1)^n
A série fica:
2(2.5) -1 = 4
Essa série é uma série alternada, mas não converge porque o termo geral não tende a zero.
Para sumn=0^infty n4^n4^n = sumn=0^infty n :
Substituindo na série:
A série fica:
Essa é uma série divergente porque é a soma dos naturais, que cresce sem limites.
Resposta
O raio de convergência é 2 e o intervalo de convergência é .