Determine as derivadas parciais de e 2 ardem das funções:

a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções dadas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções em relação a uma variável, mantendo a outra constante, e também como encontrar derivadas de ordem superior.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem: e .
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:

Passo 3

Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, encontraremos , que é a derivada de em relação a :
Depois, , que é a derivada de em relação a :
Agora, vamos encontrar as derivadas mistas e . Vamos derivar em relação a e em relação a :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem: e .
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:

Passo 5

Vamos agora às derivadas de segunda ordem da segunda função.
Primeiro, , que é a derivada de em relação a :
Para , derivamos em relação a :
Agora, para as derivadas mistas e :
Para , derivamos em relação a :
Para , derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções são:
a) Para :
b) Para :

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Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem com
Determine e faça o esboço do domínio das funções abaixo:
a)
b)
Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada.
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem .
Use a regra da cadeia para achar .
a)
,