Determine as derivadas parciais de e 2 ardem das funções:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções dadas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções em relação a uma variável, mantendo a outra constante, e também como encontrar derivadas de ordem superior.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem: e .
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Passo 3
Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, encontraremos , que é a derivada de em relação a :
Depois, , que é a derivada de em relação a :
Agora, vamos encontrar as derivadas mistas e . Vamos derivar em relação a e em relação a :
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos para a segunda função:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem: e .
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Passo 5
Vamos agora às derivadas de segunda ordem da segunda função.
Primeiro, , que é a derivada de em relação a :
Para , derivamos em relação a :
Agora, para as derivadas mistas e :
Para , derivamos em relação a :
Para , derivamos em relação a :
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções são: