Determine as derivadas parciais de 1 e 2 ardem das funções:
f_x(x, y) f_y(x, y), f_{xy}(x, y), f_{yx}(x, y), f_{xx}(x, y), f_{yy}(x, y)
a) f(x, y) = x^4 - 3 x^2 y^3
b) f(x, y) = y * tg(2 * x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções dadas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções em relação a uma variável, mantendo a outra constante, e também como encontrar derivadas de ordem superior.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem: e .
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:

Passo 3

Agora, vamos para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, encontraremos , que é a derivada de em relação a :
Depois, , que é a derivada de em relação a :
Agora, vamos encontrar as derivadas mistas e . Vamos derivar em relação a e em relação a :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem: e .
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:
Para , derivamos em relação a , tratando como constante:

Passo 5

Vamos agora às derivadas de segunda ordem da segunda função.
Primeiro, , que é a derivada de em relação a :
Para , derivamos em relação a :
Agora, para as derivadas mistas e :
Para , derivamos em relação a :
Para , derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções são:
a) Para :
b) Para :

Exercícios relacionados