Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer
que passa pela origem com
b) ao longo de uma reta qualquer
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, quando elas se aproximam de
. O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente limites. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de diferentes caminhos até a origem.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a), onde o caminho que seguimos é a parábola
.
Passo 3
Substituímos
por
na função:
Passo 4
Vamos simplificar o denominador:
Como
está se aproximando de 0,
(já que x será positivo ou negativo próximo de zero).
Passo 5
Agora, substituímos de volta:
Passo 6
Ao calcular o limite quando
tende a 0:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b), onde o caminho é uma reta qualquer
, com
.
Passo 8
Substituímos
por
na função:
Passo 9
Simplificamos o denominador:
Novamente, como
está se aproximando de 0,
.
Passo 10
Substituímos de volta:
Passo 11
Calculamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
a) O limite ao longo da reta
é
.
b) O limite ao longo de qualquer reta
com
também é
.
Exercícios relacionados
Determine e faça o esboço do domínio das funções abaixo:
a)
b)
a)
b)
Seja
b) Determine o domínio de .
b) Determine o domínio de
Determine as derivadas parciais de
e 2 ardem das funções:
a)
b)
a)
b)
Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada.
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem
.
b) ao longo de uma reta qualquer