Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada
lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2
a) ao longo da reta y=x^2
b) ao longo de uma reta qualquer y=m x que passa pela origem com m neq 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , quando elas se aproximam de . O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente limites. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de diferentes caminhos até a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a), onde o caminho que seguimos é a parábola .

Passo 3

Substituímos x cdot yraizx^2 + y^2 = x cdot x^2raizx^2 + (x^2)^2 = x^3raizx^2 + x^4 por na função:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
raizx^2 + x^4 = raizx^2(1 + x^2) = |x| raiz1 + x^2
Como está se aproximando de 0, (já que x será positivo ou negativo próximo de zero).

Passo 5

Agora, substituímos de volta:
x^3x raiz1 + x^2 = x^2raiz1 + x^2

Passo 6

Ao calcular o limite quando limx to 0 x^2raiz1 + x^2 = 0raiz1 + 0 = 0 tende a 0:

Passo 7

Agora, vamos para a parte b), onde o caminho é uma reta qualquer , com .

Passo 8

Substituímos x cdot yraizx^2 + y^2 = x cdot m xraizx^2 + (m x)^2 = m x^2raizx^2 + m^2 x^2 por na função:

Passo 9

Simplificamos o denominador:
raizx^2 + m^2 x^2 = raizx^2(1 + m^2) = |x| raiz1 + m^2
Novamente, como está se aproximando de 0, .

Passo 10

Substituímos de volta:
m x^2x raiz1 + m^2 = m xraiz1 + m^2

Passo 11

Calculamos o limite quando limx to 0 m xraiz1 + m^2 = 0raiz1 + m^2 = 0 tende a 0:

Resposta

a) O limite ao longo da reta é .
b) O limite ao longo de qualquer reta com também é .

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