Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem com

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, e , quando elas se aproximam de . O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente limites. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de diferentes caminhos até a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a), onde o caminho que seguimos é a parábola .

Passo 3

Substituímos por na função:

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
Como está se aproximando de 0, (já que x será positivo ou negativo próximo de zero).

Passo 5

Agora, substituímos de volta:

Passo 6

Ao calcular o limite quando tende a 0:

Passo 7

Agora, vamos para a parte b), onde o caminho é uma reta qualquer , com .

Passo 8

Substituímos por na função:

Passo 9

Simplificamos o denominador:
Novamente, como está se aproximando de 0, .

Passo 10

Substituímos de volta:

Passo 11

Calculamos o limite quando tende a 0:

Resposta

a) O limite ao longo da reta é .
b) O limite ao longo de qualquer reta com também é .

Exercícios relacionados

Determine e faça o esboço do domínio das funções abaixo:
a)
b)
Seja
b) Determine o domínio de .
Determine as derivadas parciais de e 2 ardem das funções:

a)
b)
Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada.
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem .