Use a regra da cadeia para achar partial zpartial s e partial zpartial t.
a) z=sen theta cos beta
theta=s t^2,
beta=s^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta super útil no cálculo para derivadas de funções compostas. Aqui, temos uma função , onde e também dependem das variáveis e . A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como partial zpartial s = partial zpartial theta cdot partial thetapartial s + partial zpartial beta cdot partial betapartial s , a derivada parcial de partial zpartial t = partial zpartial theta cdot partial thetapartial t + partial zpartial beta cdot partial betapartial t em relação a é dada pela soma das derivadas de em relação às suas variáveis internas, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a . Matematicamente, isso fica assim:
E de maneira similar para :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, derivamos partial zpartial theta = cos(theta) cos(beta) em relação a partial zpartial beta = -sin(theta) sin(beta) e partial thetapartial s = t^2 :
partial betapartial s = 2s t
partial thetapartial t = 2s t
Agora, derivamos partial betapartial t = s^2 e em relação a e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para encontrar partial zpartial s = partial zpartial theta cdot partial thetapartial s + partial zpartial beta cdot partial betapartial s = cos(theta) cos(beta) cdot t^2 + (-sin(theta) sin(beta)) cdot 2s t e partial zpartial s = t^2 cos(theta) cos(beta) - 2s t sin(theta) sin(beta) .
Primeiro, para partial zpartial t = partial zpartial theta cdot partial thetapartial t + partial zpartial beta cdot partial betapartial t = cos(theta) cos(beta) cdot 2s t + (-sin(theta) sin(beta)) cdot s^2 :
partial zpartial t = 2s t cos(theta) cos(beta) - s^2 sin(theta) sin(beta)
Simplificando:
Agora, para :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = t^2 cos(theta) cos(beta) - 2s t sin(theta) sin(beta)
partial zpartial t = 2s t cos(theta) cos(beta) - s^2 sin(theta) sin(beta)

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