Use a regra da cadeia para achar .
a)
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta super útil no cálculo para derivadas de funções compostas. Aqui, temos uma função , onde e também dependem das variáveis e . A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como , a derivada parcial de em relação a é dada pela soma das derivadas de em relação às suas variáveis internas, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a . Matematicamente, isso fica assim:
E de maneira similar para :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, derivamos em relação a e :
Agora, derivamos e em relação a e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para encontrar e .
Primeiro, para :
Simplificando:
Agora, para :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada.
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem .
Determine as derivadas parciais de e 2 ardem das funções:

a)
b)
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: