Use a regra da cadeia para achar
.
a)
,
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta super útil no cálculo para derivadas de funções compostas. Aqui, temos uma função
, onde
e
também dependem das variáveis
e
. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como
, a derivada parcial de
em relação a
é dada pela soma das derivadas de
em relação às suas variáveis internas, multiplicadas pelas derivadas dessas variáveis em relação a
. Matematicamente, isso fica assim:
E de maneira similar para
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, derivamos
em relação a
e
:
Agora, derivamos
e
em relação a
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Simplificando:
Agora, para
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada.
a) ao longo da reta
b) ao longo de uma reta qualquer que passa pela origem
.
b) ao longo de uma reta qualquer
Determine as derivadas parciais de
e 2 ardem das funções:
a)
b)
a)
b)
Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: