Determine o limite se existir, ou mostre que o limite não existe, seguindo a alternativa dada.
lim (x, y) (0,0) 8 x^2 yx^2+y^2
a) ao longo da reta y=x
b) ao longo de uma reta qualquer y=m x que passa pela origem com m neq 0.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar o limite da função quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites em várias variáveis aqui. Para resolver, vamos analisar o limite ao longo de diferentes retas que passam pela origem.

Passo 2

a) Ao longo da reta 8x^2 cdot xx^2 + x^2 = 8x^32x^2 = 8x2 = 4x :
Primeiro, substituímos limx to 0 4x = 0 por na função:
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0:

Passo 3

b) Ao longo de uma reta qualquer 8x^2 cdot m xx^2 + (m x)^2 = 8m x^3x^2(1 + m^2) = 8m x1 + m^2 , com limx to 0 8m x1 + m^2 = 0 :
Aqui, substituímos por na função:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 0:

Resposta

a) O limite ao longo da reta é 0.
b) O limite ao longo de qualquer reta , com , também é 0.

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