Seja g(u, v)=f(u+v, u v), f de classe C^2, x=u+v, y=u v. Calcule partial gpartial u(1,1) e partial^2 gpartial u partial v(1,1), sabendo que fx(2,1)=3, fy(2,1)=-3, fx x(2,1)=0, fx y(2,1)=1 e fy y(2,1)=2.

Passo 1

Neste exercício, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Estamos trabalhando com derivadas parciais de funções compostas, utilizando a regra da cadeia. Para resolver, precisamos das informações fornecidas sobre as derivadas de no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de g(u, v) = f(x, y) onde x = u + v e y = u cdot v em relação a partial gpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u , ou seja, partial xpartial u = 1 e partial ypartial u = v .
Sabemos que:
partial gpartial u = fx cdot 1 + fy cdot v
Aplicando a regra da cadeia:
partial gpartial u(1,1) = fx(2,1) cdot 1 + fy(2,1) cdot 1 = 3 + (-3) = 0
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Substituindo:
No ponto , temos e . Substituindo os valores fornecidos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista partial^2 gpartial u partial v = partialpartial v ( partial gpartial u ) .
Primeiro, lembramos que:
partial^2 gpartial u partial v = partial fxpartial v + partial fypartial v cdot v + fy cdot partial vpartial v
Já calculamos partial fxpartial v = fxx cdot partial xpartial v + fxy cdot partial ypartial v . Agora, derivamos essa expressão em relação a partial fypartial v = fxy cdot partial xpartial v + fyy cdot partial ypartial v :
partial xpartial v = 1 e partial ypartial v = u
Aplicando a regra da cadeia para cada termo:
partial fxpartial v(2,1) = fxx(2,1) cdot 1 + fxy(2,1) cdot 1 = 0 + 1 = 1
partial fypartial v(2,1) = fxy(2,1) cdot 1 + fyy(2,1) cdot 1 = 1 + 2 = 3
Calculando as derivadas parciais:
partial^2 gpartial u partial v(1,1) = 1 + 3 cdot 1 + fy(2,1) cdot 1 = 1 + 3 + (-3) = 1
No ponto :
Substituindo de volta na expressão da segunda derivada:

Resposta

partial gpartial u(1,1) = 0 e partial^2 gpartial u partial v(1,1) = 1

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