Seja
de classe
. Calcule
e
, sabendo que
e
.
Passo 1
Neste exercício, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. Estamos trabalhando com derivadas parciais de funções compostas, utilizando a regra da cadeia. Para resolver, precisamos das informações fornecidas sobre as derivadas de
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Sabemos que:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Substituindo:
No ponto
, temos
e
. Substituindo os valores fornecidos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista
.
Primeiro, lembramos que:
Já calculamos
. Agora, derivamos essa expressão em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia para cada termo:
Calculando as derivadas parciais:
No ponto
:
Substituindo de volta na expressão da segunda derivada: