Se
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
e precisa mostrar que
.
Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
e
. Lembre-se que
é uma função de três variáveis:
,
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
.
Temos:
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Como
, a única parte que depende de
é
.
Então:
Passo 5
De forma semelhante, vamos calcular
.
Aqui,
, então as partes que dependem de
são
e
.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos somar
.
Substituindo as derivadas que calculamos:
Onde
,
e
.
Passo 7
Vamos simplificar cada termo:
Passo 8
Agora, somando todos os termos:
Observamos que os termos com
,
e
se cancelam:
Fica apenas:
Resposta
Portanto,
, como queríamos demonstrar.