Se u=x^m f(yx, xz, zx), mostre que x partial upartial x+y partial upartial y+z partial upartial z=m u.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função e precisa mostrar que .
Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , e . Lembre-se que é uma função de três variáveis: , e .

Passo 3

Vamos começar encontrando u = x^m f(yx, xz, zx) .
Temos:
partial upartial x = m x^m-1 f(yx, xz, zx) + x^m ( partial fpartial (yx) cdot (-yx^2) + partial fpartial (xz) cdot 1z + partial fpartial (zx) cdot (-zx^2) )
Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial upartial y = x^m cdot partial fpartial (yx) cdot 1x = x^m-1 partial fpartial (yx) .
Como , a única parte que depende de é .
Então:

Passo 5

De forma semelhante, vamos calcular partial upartial z = x^m ( partial fpartial (xz) cdot (-xz^2) + partial fpartial (zx) cdot 1x ) .
Aqui, , então as partes que dependem de são e .
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Agora, vamos somar x cdot ( m x^m-1 f + x^m ( -yx^2 f1 + 1z f2 - zx^2 f3 ) ) + y cdot ( x^m-1 f1 ) + z cdot ( x^m ( -xz^2 f2 + 1x f3 ) ) .
Substituindo as derivadas que calculamos:
Onde , e .

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:

Passo 8

Agora, somando todos os termos:
m x^m f - y x^m-1 f1 + x^m+1z f2 - z x^m-1 f3 + y x^m-1 f1 - x^m+1 1z f2 + x^m-1 z f3
Observamos que os termos com - y x^m-1 f1 + y x^m-1 f1 = 0 x^m+1z f2 - x^m+1z f2 = 0 - z x^m-1 f3 + z x^m-1 f3 = 0 , m x^m f e se cancelam:
Fica apenas:

Resposta

Portanto, , como queríamos demonstrar.

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